數值電磁 - 電容模擬器自己寫 (part1/3)
此篇紀錄使用MATLAB自己寫一個電容模擬器。 利用數值電磁的方法，計算空間電位、空間電場、金屬上電荷、到最後到電容值。 並將計算結果對比商業3D模擬器，Cadence Clarity Capacitance、Ansys Q3D。 文章最後分享我所編寫的MATLAB程式碼。 主要參考文獻，瑞典皇家理工學院(KTH)Stefano Markidis教授的授課講義。 https://canvas.kth.se/files/1412425/download?download_frd=1 計算兩塊金屬之間的電容數值。 首先介紹相關方程 Maxwell Gauss law: 🜄·E = ρ/ε...(1) 接著定義電位φ和E的關係 E = -🜄φ...(2) 將式(2)帶入式(1) 🜄·(-🜄φ) = ρ/ε 若計算的φ空間是純介質(or空氣)，也就是source free(ρ=0), 得 -🜄²φ = 0...(3) 式(3)又稱為Laplace Equation。 接著介紹數值方法來算式子(3) 為了方便，用二維x,y帶入式子(3) -🜄²φ = მ²φ/მx² + მ²φ/მy² = 0...(4) 採用「中央差分方」把討人厭的微分幹掉 მ²φ/მx² ⋍ (φ(x-△x) - 2*φ(x) + φ(x+△x)) /△x² მ²φ/მy² ⋍ (φ(y-△y) - 2*φ(y) + φ(y+△y)) /△y² 上式中的△x和△y為xy方向的「mesh」，為了方便 ，把xy的mesh都設定成一樣大 △x=△y=h 帶入式(4) -🜄²φ ⋍ (φ(x-h,y) + φ(x+h,y) + φ(x,y-h) + φ(x,y+h) - 4*φ(x,y))/h² = 0...(5) 接著介紹Jacobi Iteration來算式(5) 把φ(x,y)丟到左邊寫成 φ(x,y) = (φ(x-h,y) + φ(x+h,y) + φ(x,y-h) + φ(x,y+h))/4...(6) 式(6)是本文最核心的主角，數學有些討厭，用物理解釋式(6)就是: 「 x,y點的電位 = 左、右、上、下四個點電位的平均(相加再除4)。」 求解問題如下圖，同軸